Конвертація чисел з двійкової системи числення в десяткову
Двійкова система числення на сьогоднішній день — друга за поширеністю після десяткової, і на ній заснована робота всіх електронно-обчислювальних пристроїв. У двійковій системі всього два значення: 0 та 1, що в електронних схемах/платах відповідає відсутності та наявності заряду. Двійкові числа завжди читаються за однією цифрою, 1011 року звучить не як «тисяча одинадцять», а як «один, нуль, один, один».
Властивості двійкової системи числення
Усього існує 35 систем числення, і якщо кілька з них одночасно використовуються в тому чи іншому розрахунку/дослідженні, їх відзначають цифровими префіксами. Наприклад, 101(2) означає, що число належить до двійкової системи, а 6(10) - до десяткової. Ще два варіанти позначення – амперсанд «&» та «0b». Так, двійкове число 1010(2) можна записати як 0b1010 або &1010.
Під час роботи з числами, що належать до двійкової системи числення, враховують ряд властивостей, до яких віднесемо такі:
- Непарні двійкові числа завжди закінчуються на 1, а парні — на 0.
- Значення, які діляться без залишку на 4, закінчуються двома нулями (00).
- Двійкові числа, які можна розділити на 2(k), закінчуються на k нулів.
- Значення виду 2(k) у двійковій системі відображаються як одиниця з k нулів.
- Значення виду 2(k) − 1 записуються як k одиниць.
Так, 16 можна уявити як 2^4 або як 10000(2), а 15 — як 2^4 − 1 або як 1111(2). Комп'ютер автоматично сприймає бінарний код 1111 як число 15, а код 10000 як число 16. Перший відповідає чотирьом осередкам з електричним зарядом, а другий - п'яти осередків, перша з яких заряджена, а решта - ні. Як осередки можуть виступати біти/байти інформації, записані на жорсткий диск або флеш-пам'ять.
Плюси та мінуси двійкової системи числення
Важливість двійкової системи обчислення неможливо переоцінити, оскільки саме вона дала можливість обробляти величезні обсяги інформації за короткий час на електронно-обчислювальних пристроях, що працюють з двійковим кодом. До переваг цієї системи можна віднести:
- Висока швидкість обробки даних. Комп'ютер у рази простіше обробляти двійкові, ніж десяткові числа.
- Спрощені математичні операції зі складання та множення. Двійкові таблиці займають набагато менше місця, ніж десяткові.
- Сумісність з технічними пристроями/апаратами, що сприймають лише два значення: «вкл» або «выкл», «наявність заряду» або «відсутність заряду», «наявність магнітного поля» або «відсутність магнітного поля».
З технічної точки зору, двійкова система ідеальна, але для людини вона занадто складна в застосуванні. Нам складно зрозуміти, що 17 відповідає 10001, 46 — 101110, 148 — 10010100. І тим більше це неможливо запам'ятати стосовно кожного існуючого десяткового числа. Двійкова система числення має й інші мінуси:
- Одне й те саме число, записане в двійковій та десятковій системах, у першому випадку матиме більше розрядів.
- Кінцеві десяткові дроби при перетворенні на двійкові отримують нескінченний числовий ряд.
У повсякденному житті нам не потрібна двійкова система, і необхідність у ній виникла відносно нещодавно — після винаходу електрики, а досі відображення даних у вигляді нулів та одиниць мало суто експериментальний характер.
Історичні етапи розвитку
Хоча двійкову систему числення почали активно застосовувати лише після XVII століття, є докази того, що вона існувала ще на зорі цивілізацій. Так, індійський математик Пінгала у 200 році до нашої ери розробив систему, за якою текстову інформацію можна було перетворювати на двійковий код, і кожній літері відповідало своє бінарне значення.
Стародавні інки понад тисячу років тому використовували лист стос, в якому, крім десяткових чисел, були присутні двійкові. А в давньокитайській «Книзі Змін», або «І Цзін», датованій XI століттям, зображено 64 гексаграми та 8 триграм, що відповідають 6-бітним та 3-бітним цифрам відповідно. Двійкова система відображення інформації в Середньовіччі також існувала в Африці — у традиційних ворожіннях багатьох племен, наприклад, у ворожіння Іфа.
У XVII столітті німецький вчений Готфрід Вільгельм Лейбніц у своїй науковій праці Explication de l'Arithmétique Binaire докладно описав двійкову систему числення, привівши її до остаточного вигляду — того, що існує досі. У своїх дослідженнях він спирався на китайську "Книгу Змін" XI століття, яка справила на Лейбніца сильне враження. Він називав її «великим китайським досягненням у філософській математиці» і вважав, що її автор Шао Юн випередив свій час.
Англійський математик Джордж Буль по праву вважається батьком математичної логіки. Його ім'ям названо розділ математичної логіки - булева алгебра (алгебра логіки). У 1848 році була опублікована стаття Джорджа Буля за початками математичної логіки - "Математичний аналіз логіки, або досвід обчислення дедуктивних висновків", а в 1854 з'явилася головна його робота - "Дослідження законів мислення, на яких засновані математичні теорії логіки та ймовірностей". У ній математик описав алгебраїчні системи числення стосовно логіки, і започаткував розвиток простих, а згодом — все більш складних електронних логічних схем.
У XX столітті дослідження двійкової системи продовжилися, і в 1937 році американський інженер Клод Шеннон поєднав двійкову арифметику та булеву алгебру, застосувавши їх тандем до електронних реле та перемикачів. На дослідженні Шеннона, по суті, засновано роботу всіх сучасних електронно-обчислювальних пристроїв. У тому ж 1937 року було створено двійковий цифровий комп'ютер Model K, який до 1940 року після низки модернізацій міг вважати комплексні числа. Його творець — Джордж Штібіц — уперше дав команду обчислювальному пристрою віддалено: по телефонній лінії, тим самим відкривши горизонти для подальшого створення та розвитку інтернету.
Підводячи підсумок, можна сказати, що з малозначущої та вузькоспеціальної, двійкова система стала найзатребуванішою і поширенішою (на другому місці після десяткової) лише за 150-200 років. Сьогодні на ній засновано роботу всіх обчислювальних пристроїв, починаючи з кнопкових калькуляторів і закінчуючи серверними станціями.
