😍 Двоичный калькулятор онлайн - Сложение, вычитание, умножение, деление двоичных чисел

Перевод из двоичной в десятичную систему счисления

Двоичная система счисления на сегодняшний день — вторая по распространённости после десятичной, и на ней основана работа всех электронно-вычислительных устройств. В двоичной системе всего два значения: 0 и 1, что в электронных схемах/платах соответствует отсутствию и наличию заряда. Двоичные числа всегда читаются по одной цифре, 1011 звучит не как «тысяча одиннадцать», а как «один, ноль, один, один».

Свойства двоичной системы счисления

Всего существует 35 систем счисления, и если несколько из них одновременно используются в том или ином расчёте/исследовании, их отмечают цифровыми префиксами. Например, 101(2) означает, что число принадлежит к двоичной системе, а 6(10) — к десятичной. Ещё два варианта обозначения — амперсанд «&» и «0b». Так, двоичное число 1010(2) можно записать как 0b1010 или как &1010.

При работе с числами, принадлежащими к двоичной системе счисления, учитывают ряд свойств, к которым отнесём следующие:

Нечётные двоичные числа всегда оканчиваются на 1, а чётные — на 0.
Значения, которые без остатка делятся на 4, оканчиваются двумя нулями (00).
Двоичные числа, которые можно разделить на 2(k), оканчиваются на k нулей.
Значения вида 2(k) в двоичной системе отображаются как единица с k нулей.
Значения вида 2(k) − 1 записываются как k единиц.

Так, 16 можно представить как 2^4 или как 10000(2), а 15 — как 2^4 − 1 или как 1111(2). Компьютер автоматически воспринимает бинарный код 1111 как число 15, а код 10000 как число 16. Первый соответствует четырём ячейкам с электрическим зарядом, а второй — пяти ячейкам, первая из которых заряжена, а остальные — нет. В качестве ячеек могут выступать биты/байты информации, записанные на жёсткий диск или флеш-память.

Плюсы и минусы двоичной системы счисления

Важность двоичной системы счисления переоценить невозможно, так как именно она дала возможность обрабатывать огромные объёмы информации за короткое время на электронно-вычислительных устройствах, работающих с двоичным кодом. К плюсам этой системы можно отнести:

Высокую скорость обработки данных. Компьютеру в разы проще обрабатывать двоичные, чем десятичные числа.
Упрощённые математические операции по сложению и умножению. Двоичные таблицы занимают гораздо меньше места, чем десятичные.
Совместимость с техническими устройствами/аппаратами, воспринимающими только два значения: «вкл» или «выкл», «наличие заряда» или «отсутствие заряда», «наличие магнитного поля» или «отсутствие магнитного поля».

С технической точки зрения, двоичная система — идеальна, но для человека она слишком сложна в применении. Нам сложно понять, что 17 соответствует 10001, 46 — 101110, 148 — 10010100. И тем более — это невозможно запомнить применительно к каждому существующему десятичному числу. У двоичной системы счисления есть и другие минусы:

Одно и то же число, записанное в двоичной и десятичной системах, в первом случае будет иметь больше разрядов.
Конечные десятичные дроби при преобразовании в двоичные получают бесконечный числовой ряд.

В повседневной жизни нам не нужна двоичная система, и необходимость в ней возникла относительно недавно — после изобретения электричества, а до этих пор отображение данных в виде нулей и единиц носило чисто экспериментальный характер.

Исторические этапы развития

Хотя двоичную систему счисления начали активно применять только после XVII века, есть доказательства того, что она существовала ещё на заре цивилизаций. Так, индийский математик Пингала (पिङ्गल) в 200 году до нашей эры разработал систему, по которой текстовую информацию можно было преобразовывать в двоичный код, и каждой букве соответствовало своё бинарное значение.

Древние инки более тысячи лет назад использовали письмо кипу (khipu), в котором кроме десятичных чисел присутствовали двоичные. А в древнекитайской «Книге Перемен», или «И Цзин» (易經), датированной XI веком, изображены 64 гексаграммы и 8 триграмм, соответствующие 6-битным и 3-битным цифрам соответственно. Двоичная система отображения информации в Средние века также существовала в Африке — в традиционных гаданиях многих племён, например — в гадании Ифа.

В XVII веке немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz) в своём научном труде Explication de l’Arithmétique Binaire подробно описал двоичную систему исчисления, приведя её к окончательному виду — тому, который существует до сих пор. В своих исследованиях он опирался на китайскую «Книгу Перемен» XI века, которая произвела на Лейбница сильнейшее впечатление. Он называл её «крупным китайским достижением в философской математике» и считал, что её автор Шао Юн (邵雍) опередил своё время.

Английский математик Джордж Буль (George Boole) по праву считается отцом математической логики. Его именем назван раздел математической логики — булева алгебра (алгебра логики). В 1848 году была опубликована статья Джорджа Буля по началам математической логики — «Математический анализ логики, или опыт исчисления дедуктивных умозаключений» (The Mathematical Analysis of Logic), а в 1854 году появилась главная его работа — «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (An Investigation of the Laws of Thought). В ней математик описал алгебраические системы счисления применительно к логике, и положил начало развитию простых, а впоследствии — всё более сложных электронных логических схем.

В XX веке исследования двоичной системы продолжились, и в 1937 году американский инженер Клод Шеннон (Claude Elwood Shannon) совместил двоичную арифметику и булеву алгебру, применив их тандем к электронным реле и переключателям. На исследовании Шеннона, по сути, основана работа всех современных электронно-вычислительных устройств. В том же 1937 году был создан двоичный цифровой компьютер Model K, который к 1940 году после ряда модернизаций уже мог считать комплексные числа. Его создатель — Джордж Штибиц (George Stibitz) — впервые дал команду вычислительному устройству удалённо: по телефонной линии, тем самым открыв горизонты для дальнейшего создания и развития интернета.

Подводя итог, можно сказать, что из малозначимой и узкоспециальной, двоичная система стала самой востребованной и распространённой (на втором месте после десятичной) всего за 150–200 лет. Сегодня на ней основана работа всех вычислительных устройств, начиная с кнопочных калькуляторов и заканчивая серверными станциями.

Перевод из десятичной в двоичную систему счисления

Двоичная система счисления — вторая по популярности после десятичной и состоит всего из двух значений: 0 и 1. Согласно общим правилам преобразования, любое десятичное число можно представить в виде двоичного. Например, 3 в виде 11, а 33 — в виде 100001. Для бинарных чисел существуют свои правила сложения, вычитания, умножения и деления, немного отличающиеся от операций с десятичными числами.

Сложение и вычитание двоичных чисел

Как правильно сложить между собой два бинарных/двоичных числа? Эта операция проводится по тому же принципу, что и стандартное десятичное сложение. То есть: два значения записываются в столбик с выравниванием по разделителю/запятой, и высчитываются с крайнего правого разряда до крайнего левого — с переносом «лишних» единиц справа налево. Так, две единицы «младшего» разряда объединяются в единицу «старшего». В качестве примера, сложим между собой бинарные 1100 и 101 по разрядам:

первый справа: 0 + 1 = 1;
второй справа: 0 + 0 = 0;
третий справа: 1 + 1 = 10, единица переводится в следующий разряд;
четвёртый справа: 1 + 0 (+1 из предыдущего разряда) = 10, единица переносится в следующий разряд;
пятый справа: 0 + 0 (+1 из предыдущего разряда) = 1.

Располагаем цифры в ряд сверху вниз и получаем 10001. Вычитание происходит аналогичным образом. Если «занимается» единица старшего разряда, из неё образуются две единицы младшего. Для примера вычтем 101 из 1011 по разрядам:

первый справа: 1 − 1 = 0;
второй справа: 1 − 0 = 1;
третий справа: 0 − 1 = 1, занимаем единицу из следующего разряда;
четвёртый справа: 0 − 0 = 0, отдаём единицу из предыдущего разряда.

Получаем 110, или при переводе в десятичную систему — 6. По аналогии можно проводить операции сложения и вычитания с любыми другими двоичными числами.

Умножение и деление двоичных чисел

Как и в случае с десятичными числами, двоичные умножаются и делятся в столбик, с переносом лишних единиц из правых разрядов в левые. Так как при умножении 1 на 0 получается 0, а при умножении 1 на 1 значение остаётся неизменным, во втором случае оно переносится в следующий разряд в виде «лишней» единицы. Например, умножить 110 на 10 можно в 4 действия:

110 × 0 = 000;
110 × 1 = 110;
сдвигаем 110 на один разряд влево;
складываем значения: 000 + 1100 = 1100.

Для деления бинарных чисел тоже используем стандартный столбик из арифметики, учитывая важное условие — делить на 0 нельзя. Например, чтобы разделить 1100 на 10, где первые две цифры делимого отличны от нуля, нужно:

умножить делитель на 1 и вычесть из 11 число 10;
к полученному значению 1 добавляем справа 0 и получаем 10 — значение, равное делителю;
умножаем 10 на 1 и вычитаем 10;
к получившемуся 0 прибавляем ещё 0 (от делимого).

Так как 0 меньше 10, умножаем делитель на 0 и получаем конечный результат деления — 110. В графическом (не текстовом) виде эти вычисления выглядят более понятно и наглядно, и при небольших значениях чисел не вызывают затруднений при расчётах. Но большие бинарные числа, состоящие из множества нулей и единиц, считать в столбик — слишком сложно и долго.

Тем более, что в повседневной жизни такие расчёты не нужны, и их более чем в 99% случаев используют в вычислительной/компьютерной технике. Если же вам нужен быстрый и точный результат сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел, проще всего — воспользоваться специальным онлайн-калькулятором.

Перевод из двоичной в десятичную систему счисления

Свойства двоичной системы счисления

Плюсы и минусы двоичной системы счисления

Исторические этапы развития

Перевод из десятичной в двоичную систему счисления

Сложение и вычитание двоичных чисел

Умножение и деление двоичных чисел