😍 Bináris számológép és konverter

A bináris számrendszer ma a második leggyakoribb a decimális után, és az összes elektronikus számítástechnikai eszköz működése ezen alapul. A bináris rendszerben csak két érték van: 0 és 1, amelyek az elektronikus áramkörökben / kártyákban a töltés hiányának és jelenlétének felelnek meg. A bináris számok mindig egy számjegyet olvasnak be, az 1011 nem úgy hangzik, mint „ezertizenegy”, hanem „egy, nulla, egy, egy”.

A kettes számrendszer tulajdonságai

Összesen 35 számrendszer létezik, és ha ezek közül egyidejűleg többet is használnak egy adott számításnál/vizsgálatnál, akkor ezeket digitális előtagokkal jelölik. Például a 101(2) azt jelenti, hogy a szám bináris, míg a 6(10) decimális. Két további jelölési lehetőség az "&" és a "0b" jel. Például az 1010(2) bináris szám felírható 0b1010 vagy &1010 alakban.

A bináris számrendszerhez tartozó számokkal való munka során számos tulajdonságot figyelembe veszünk, köztük a következőket:

A páratlan bináris számok mindig 1-re, a páros számok pedig mindig 0-ra végződnek.
A 4-gyel egyenlően osztható értékek két nullával (00) végződnek.
A 2(k)-vel osztható bináris számok k nullára végződnek.
A 2(k) formátumú értékek binárisan egyként jelennek meg, amelyet k nulla követ.
Az olyan értékeket, mint a 2(k) − 1, a rendszer k egyesként írja fel.

Így a 16-ot 2^4-ként vagy 10000(2-ként), a 15-öt pedig 2^4-1-ként vagy 1111(2-ként) ábrázolhatjuk. A számítógép az 1111-es bináris kódot automatikusan 15-nek, a 10000-es kódot pedig 16-nak érzékeli. Az első négy elektromos töltésű cellának, a második öt cellának felel meg, amelyek közül az első töltődik, a többi pedig ők nem. A merevlemezre vagy flash memóriára rögzített információ bitjei/bájtjai cellaként működhetnek.

A bináris rendszer előnyei és hátrányai

A bináris számrendszer jelentőségét nem lehet túlbecsülni, hiszen ez tette lehetővé hatalmas mennyiségű információ rövid időn belüli feldolgozását a bináris kóddal működő elektronikus számítástechnikai eszközökön. A rendszer előnyei a következők:

Nagy adatfeldolgozási sebesség. A számítógép sokkal könnyebben tudja feldolgozni a bináris számokat, mint a decimális számokat.
Egyszerűsített matematikai műveletek összeadáshoz és szorzáshoz. A bináris táblák sokkal kevesebb helyet foglalnak el, mint a decimális táblák.
Kompatibilitás műszaki eszközökkel / olyan eszközökkel, amelyek csak két értéket érzékelnek: "be" vagy "off", "töltött" vagy "nincs töltés", "van mágneses mező" vagy "nincs mágneses tér".

Technikai szempontból a bináris rendszer ideális, de az emberek számára túl bonyolult a használata. Nehéz megértenünk, hogy a 17 az 10001-nek, 46-101110-nek, 148-10010100-nak felel meg. És még inkább - lehetetlen ezt minden létező decimális számra megjegyezni. A kettes számrendszernek más hátrányai is vannak:

A bináris és decimális rendszerben írt számnak az első esetben több számjegye lesz.
A tizedesjegyek zárójeleit binárissá alakítva végtelen számsort kapunk.

A mindennapi életben nincs szükségünk bináris rendszerre, és viszonylag nemrégiben – az elektromosság feltalálása után – felmerült rá az igény, és addig az adatok nullák és egyesek formájában való megjelenítése pusztán kísérleti jellegű volt.

A fejlődés történeti szakaszai

Bár a kettes számrendszert csak a 17. század után használták aktívan, bizonyítékok vannak arra, hogy már a civilizációk hajnalán is létezett. Így tehát az indiai matematikus, Pingala Kr.e. 200-ban kifejlesztett egy rendszert, amellyel a szöveges információkat bináris kóddá lehetett alakítani, és minden betűnek megvan a maga bináris értéke.

Az ókori inkák több mint ezer évvel ezelőtt a quipu szkriptet használták, amelyben a decimális számok mellett bináris számok is szerepeltek. A 11. századra datált ókori kínai „Változások Könyve” vagy „I Ching” pedig 64 hexagramot és 8 trigrammot ábrázol, amelyek 6 bites, illetve 3 bites számoknak felelnek meg. Az információmegjelenítés bináris rendszere a középkorban Afrikában is létezett - sok törzs hagyományos jóslásában például - az ifa jóslásban.

A 17. században Gottfried Wilhelm Leibniz német tudós Explication de l'Arithmétique Binaire című tudományos munkájában részletesen leírta a bináris rendszert, és elhozta végső formáját – a még mindig létezőt. Tanulmányaiban a 11. századi kínai "Változások Könyvére" támaszkodott, amely nagy benyomást tett Leibnizre. Ezt "a filozófiai matematika jelentős kínai vívmányának" nevezte, és úgy vélte, hogy szerzője, Shao Yong megelőzte korát.

George Boole angol matematikust a matematikai logika atyjának tartják. Róla nevezték el a matematikai logika egyik ágát, a Boole-algebrát (logikai algebrát). 1848-ban George Boole publikált egy cikket a matematikai logika alapelveiről - "A logika matematikai elemzése, avagy tapasztalat a deduktív következtetések számításában", 1854-ben pedig fő műve - "A gondolkodás törvényeinek vizsgálata, amelyen a logika és a valószínűség matematikai elméletein alapulnak." Ebben a matematikus algebrai számrendszereket írt le a logika kapcsán, és megalapozta az egyszerű, később egyre bonyolultabb elektronikus logikai áramkörök kifejlesztését.

A 20. században a bináris rendszer kutatása folytatódott, és 1937-ben Claude Shannon amerikai mérnök egyesítette a bináris aritmetikát és a Boole-algebrát, és ezeket párhuzamosan alkalmazta elektronikus relékre és kapcsolókra. Valamennyi modern elektronikus számítástechnikai eszköz munkája valójában Shannon kutatásán alapul. Ugyanebben 1937-ben megalkották a Model K bináris digitális számítógépet, amely 1940-re sorozatos fejlesztések után már képes volt komplex számokat számítani. Megalkotója, George Stibitz először adott parancsot egy számítástechnikai eszköznek távolról: telefonvonalon keresztül, ezáltal távlatokat nyitott az internet további létrehozása és fejlesztése előtt.

Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy egy jelentéktelen és erősen specializálódott bináris rendszerből a legnépszerűbb és legelterjedtebb (a tizedesjegy után a második helyen áll) mindössze 150-200 év alatt. Ma már minden számítástechnikai eszköz működése erre épül, a nyomógombos számológépektől a szerverállomásokig.

A bináris a második legnépszerűbb számrendszer a decimális után, és csak két értékből áll: 0 és 1. Az általános átalakítási szabályok szerint bármely decimális szám bináris számként ábrázolható. Például a 3 a 11, a 33 pedig az 100001. A bináris számoknak megvannak a saját szabályai az összeadásra, kivonásra, szorzásra és osztásra, amelyek kissé eltérnek a decimális számokkal végzett műveletektől.

Bináris összeadás és kivonás

Hogyan lehet helyesen összeadni két bináris/bináris számot? Ez a művelet ugyanazon az elv szerint történik, mint a szabványos decimális összeadás. Azaz: két értéket írunk egy oszlopba elválasztó/vessző igazítással, és a jobb szélső számjegytől a bal szélsőig számítjuk – az „extra” egységek jobbról balra történő átvitelével. Tehát a „junior” kategória két egységét „idősebb” egységgé egyesítik. Példaként adjuk hozzá az 1100 és 101 binárisokat bitenként:

jobbról első: 0 + 1 = 1;
jobbról a második: 0 + 0 = 0;
jobbról a harmadik: 1 + 1 = 10, az egység átkerül a következő számjegyre;
jobbról a negyedik: 1 + 0 (+1 az előző számjegytől) = 10, az egyik átkerül a következő számjegyre;
5. jobbról: 0 + 0 (+1 az előző számjegytől) = 1.

Egy sorba rendezzük a számokat felülről lefelé, és 10001-et kapunk. A kivonás hasonló módon történik. Ha egy magasabb rendű egységet „foglalnak”, abból két alacsonyabb rendű egységet alakítanak ki. Például vonja ki a 101-et 1011-ből számjegyekkel:

jobbról első: 1 − 1 = 0;
jobbról a második: 1 − 0 = 1;
jobbról a harmadik: 0 − 1 = 1, vegyen egyet a következő számjegyből;
jobbról a negyedik: 0 − 0 = 0, az előző számjegyből adjon vissza egyet.

110-et kapunk, vagy decimális rendszerre konvertálva - 6-ot. Hasonlóan, bármilyen más bináris számmal is elvégezhet összeadási és kivonási műveleteket.

Bináris szorzás és osztás

A decimális számokhoz hasonlóan a bináris számokat a rendszer megszorozza és egy oszlopba osztja úgy, hogy a jobb oldali számjegyekből a balra kerül az extra egységek. Mivel az 1-et 0-val megszorozva 0-t, az 1-et 1-gyel megszorozva az érték változatlan marad, a második esetben „extra” egység formájában a következő számjegyre kerül át. Például 110-et megszorozhat 10-zel 4 lépésben:

110 ⋅ 0 = 000;
110 ⋅ 1 = 110;
110 eltolás egy bittel balra;
adja hozzá az értékeket: 000 + 1100 = 1100.

A bináris számok osztásához az aritmetika szabványos oszlopát is használjuk, tekintettel arra a fontos feltételre, hogy nem lehet 0-val osztani. Ha például 1100-at el szeretne osztani 10-zel, ahol az osztalék első két számjegye nem nulla, a következőket kell tennie:

szorozza meg az osztót 1-gyel, és vonja ki a 10-et 11-ből;
adjunk hozzá 0-t a kapott 1-es értékhez, és kapjunk 10-et – az osztó értékét;
szorozd meg 10-et 1-gyel, és vonj ki 10-et;
a kapott 0-hoz adjunk hozzá még egy 0-t (az osztalékból).

Mivel a 0 kisebb, mint 10, megszorozzuk az osztót 0-val, és megkapjuk az osztás végeredményét: 110. Grafikus (nem szöveges) formában ezek a számítások érthetőbbnek és vizuálisabbnak tűnnek, kis számoknál pedig igen. ne okozzon nehézséget a számításokban. De a nagy bináris számokat, amelyek sok nullából és egyesből állnak, túl nehéz és hosszúak ahhoz, hogy egy oszlopban megszámolják.