Umrechner Binär zu Dezimal
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Das binäre Zahlensystem ist heute nach dem Dezimalsystem das zweithäufigste und die Funktionsweise aller elektronischen Rechengeräte basiert darauf. Im Binärsystem gibt es nur zwei Werte: 0 und 1, was in elektronischen Schaltkreisen/Platinen dem Fehlen und Vorhandensein von Ladung entspricht. Binärzahlen werden immer ziffernweise gelesen, 1011 klingt nicht wie „tausendelf“, sondern wie „eins, null, eins, eins“.
Eigenschaften des binären Zahlensystems
Es gibt insgesamt 35 Zahlensysteme, und wenn in einer bestimmten Berechnung/Studie mehrere davon gleichzeitig verwendet werden, werden sie mit digitalen Präfixen gekennzeichnet. Beispielsweise bedeutet 101(2), dass die Zahl binär ist, während 6(10) dezimal ist. Zwei weitere Notationsmöglichkeiten sind das kaufmännische Und „&“ und „0b“. Beispielsweise kann die Binärzahl 1010(2) als 0b1010 oder als &1010 geschrieben werden.
Beim Arbeiten mit Zahlen des binären Zahlensystems werden eine Reihe von Eigenschaften berücksichtigt, darunter die folgenden:
- Ungerade Binärzahlen enden immer mit 1 und gerade Zahlen enden immer mit 0.
- Werte, die gleichmäßig durch 4 teilbar sind, enden mit zwei Nullen (00).
- Binärzahlen, die durch 2(k) teilbar sind, enden in k Nullen.
- Werte der Form 2(k) im Binärformat werden als Eins gefolgt von k Nullen angezeigt.
- Werte wie 2(k) − 1 werden als k Einsen geschrieben.
Somit kann 16 als 2^4 oder als 10000(2) dargestellt werden und 15 als 2^4 − 1 oder als 1111(2). Der Computer erkennt den Binärcode 1111 automatisch als Zahl 15 und den Code 10000 als Zahl 16. Die erste entspricht vier Zellen mit elektrischer Ladung und die zweite fünf Zellen, von denen die erste geladen ist, und der Rest sind nicht. Bits/Bytes von Informationen, die auf einer Festplatte oder einem Flash-Speicher aufgezeichnet sind, können als Zellen fungieren.
Vor- und Nachteile des Binärsystems
Die Bedeutung des binären Zahlensystems kann nicht hoch genug eingeschätzt werden, da es die Verarbeitung riesiger Informationsmengen in kurzer Zeit auf elektronischen Rechengeräten ermöglichte, die mit Binärcode arbeiten. Zu den Vorteilen dieses Systems gehören:
- Hohe Datenverarbeitungsgeschwindigkeit. Für einen Computer ist es viel einfacher, Binärzahlen als Dezimalzahlen zu verarbeiten.
- Vereinfachte mathematische Operationen für Addition und Multiplikation. Binärtabellen nehmen viel weniger Platz ein als Dezimaltabellen.
- Kompatibilität mit technischen Geräten/Geräten, die nur zwei Werte wahrnehmen: „an“ oder „aus“, „geladen“ oder „keine Ladung“, „Magnetfeld vorhanden“ oder „kein Magnetfeld“.
Aus technischer Sicht ist das Binärsystem ideal, für Menschen ist es jedoch zu kompliziert in der Anwendung. Für uns ist es schwer zu verstehen, dass 17 10001, 46 - 101110, 148 - 10010100 entspricht. Und noch mehr: Es ist unmöglich, sich dies für jede existierende Dezimalzahl zu merken. Das binäre Zahlensystem hat weitere Nachteile:
- Die gleiche im Binär- und Dezimalsystem geschriebene Zahl hat im ersten Fall mehr Ziffern.
- Endende Dezimalzahlen ergeben bei der Konvertierung in Binärzahlen eine unendliche Zahlenreihe.
Im Alltag brauchen wir kein binäres System, und der Bedarf dafür entstand erst vor relativ kurzer Zeit – nach der Erfindung der Elektrizität, und bis dahin war die Darstellung von Daten in Form von Nullen und Einsen rein experimentell.
Historische Entwicklungsstadien
Obwohl das binäre Zahlensystem erst nach dem 17. Jahrhundert aktiv genutzt wurde, gibt es Hinweise darauf, dass es bereits zu Beginn der Zivilisationen existierte. So entwickelte der indische Mathematiker Pingala im Jahr 200 v. Chr. ein System, mit dem Textinformationen in einen Binärcode umgewandelt werden konnten und jeder Buchstabe seinen eigenen Binärwert hatte.
Die alten Inkas verwendeten vor mehr als tausend Jahren die Quipu-Schrift, in der neben Dezimalzahlen auch Binärzahlen vorkamen. Und im alten chinesischen „Buch der Wandlungen“ oder „I Ging“ aus dem 11. Jahrhundert sind 64 Hexagramme und 8 Trigramme abgebildet, die 6-Bit- bzw. 3-Bit-Zahlen entsprechen. Das binäre System zur Darstellung von Informationen existierte im Mittelalter auch in Afrika – beispielsweise in der traditionellen Weissagung vieler Stämme – in der Ifa-Wahrsagung.
Im 17. Jahrhundert beschrieb der deutsche Wissenschaftler Gottfried Wilhelm Leibniz in seinem wissenschaftlichen Werk „Explication de l'Arithmétique Binaire“ das Binärsystem ausführlich und brachte es in seine endgültige Form – die, die noch heute existiert. Bei seinen Studien stützte er sich auf das chinesische „Buch der Wandlungen“ des 11. Jahrhunderts, das Leibniz stark beeindruckte. Er nannte es „eine große chinesische Errungenschaft in der philosophischen Mathematik“ und glaubte, dass sein Autor Shao Yong seiner Zeit voraus war.
Der englische Mathematiker George Boole gilt als Vater der mathematischen Logik. Ein Zweig der mathematischen Logik, die Boolesche Algebra (Algebra der Logik), ist nach ihm benannt. Im Jahr 1848 veröffentlichte George Boole einen Artikel über die Prinzipien der mathematischen Logik – „Mathematische Analyse der Logik oder eine Erfahrung in der Berechnung deduktiver Schlussfolgerungen“, und 1854 erschien sein Hauptwerk – „Untersuchung der Gesetze des Denkens, auf denen die mathematischen Theorien der Logik und der Wahrscheinlichkeit basieren.“ Darin beschrieb der Mathematiker algebraische Zahlensysteme in Bezug auf die Logik und legte den Grundstein für die Entwicklung einfacher, später immer komplexer werdender elektronischer Logikschaltungen.
Im 20. Jahrhundert wurde die Forschung am Binärsystem fortgesetzt, und 1937 kombinierte der amerikanische Ingenieur Claude Shannon binäre Arithmetik und Boolesche Algebra und wandte sie gemeinsam auf elektronische Relais und Schalter an. Die Arbeit aller modernen elektronischen Computergeräte basiert tatsächlich auf Shannons Forschungen. Im selben Jahr 1937 wurde der binäre Digitalcomputer Modell K entwickelt, der 1940 nach einer Reihe von Upgrades bereits komplexe Zahlen berechnen konnte. Sein Schöpfer, George Stibitz, erteilte einem Computergerät erstmals aus der Ferne einen Befehl: über eine Telefonleitung, und eröffnete damit Horizonte für die weitere Schaffung und Entwicklung des Internets.
Zusammenfassend können wir sagen, dass sich das Binärsystem von einem unbedeutenden und hochspezialisierten System in nur 150 bis 200 Jahren zum beliebtesten und am weitesten verbreiteten System (an zweiter Stelle nach der Dezimalzahl) entwickelt hat. Heute basiert die Bedienung aller Computergeräte darauf, vom Taschenrechner bis zur Serverstation.