מחשבון המרה מבינרי לעשרוני
![מחשבון המרה מבינרי לעשרוני](/media/images/binary_converter.webp)
מערכת המספרים הבינאריים כיום היא השנייה בשכיחותה אחרי העשרונית, והפעולה של כל מכשירי המחשוב האלקטרוניים מבוססת עליה. ישנם רק שני ערכים במערכת הבינארית: 0 ו-1, אשר במעגלים / לוחות אלקטרוניים מתאים להיעדר ונוכחות של מטען. מספרים בינאריים נקראים תמיד ספרה אחת בכל פעם, 1011 לא נשמע כמו "אלף אחד עשרה", אלא כמו "אחד, אפס, אחד, אחד".
מאפייני מערכת המספרים הבינארית
ישנן 35 מערכות מספרים בסך הכל, ואם נעשה שימוש בכמה מהן במקביל בחישוב/מחקר מסוים, הן מסומנות בקידומות דיגיטליות. לדוגמה, 101(2) אומר שהמספר הוא בבינארי, בעוד ש-6(10) הוא בעשרוני. שתי אפשרויות סימון נוספות הן האמפרסנד "&" ו-"0b". לדוגמה, המספר הבינארי 1010(2) יכול להיכתב כ-0b1010 או כ-&1010.
בעבודה עם מספרים השייכים למערכת המספרים הבינארית, נלקחים בחשבון מספר מאפיינים, הכוללים את הדברים הבאים:
- מספרים בינאריים אי זוגיים תמיד מסתיימים ב-1, ומספרים זוגיים תמיד מסתיימים ב-0.
- ערכים המתחלקים באופן שווה ב-4 מסתיימים בשני אפסים (00).
- מספרים בינאריים שניתן לחלק ב-2(k) מסתיימים ב-k אפסים.
- ערכים של הצורה 2(k) בבינארי מוצגים כאחד ואחריו k אפסים.
- ערכים כמו 2(k) - 1 נכתבים כ-k אחדים.
לכן, 16 יכול להיות מיוצג כ-2^4 או כ-10000(2), ו-15 כ-2^4 - 1 או כ-1111(2). המחשב תופס אוטומטית את הקוד הבינארי 1111 כמספר 15, ואת הקוד 10000 כמספר 16. הראשון מתאים לארבעה תאים בעלי מטען חשמלי, והשני לחמישה תאים, הראשון שבהם טעון, והשאר לא. סיביות/בתים של מידע המוקלטים בדיסק קשיח או בזיכרון פלאש יכולים לשמש כתאים.
יתרונות וחסרונות של המערכת הבינארית
אי אפשר להפריז בחשיבותה של מערכת המספרים הבינאריים, שכן היא היא שאפשרה לעבד כמויות עצומות של מידע בזמן קצר במכשירי מחשוב אלקטרוניים העובדים עם קוד בינארי. היתרונות של מערכת זו כוללים:
- מהירות עיבוד נתונים גבוהה. למחשב קל הרבה יותר לעבד בינאריים מאשר מספרים עשרוניים.
- פעולות מתמטיות מפושטות לחיבור וכפל. טבלאות בינאריות תופסות הרבה פחות מקום מאשר טבלאות עשרוניות.
- תאימות עם מכשירים טכניים/מכשירים שתופסים רק שני ערכים: "מופעל" או "כבוי", "טעון" או "ללא מטען", "קיים שדה מגנטי" או "ללא שדה מגנטי".
מנקודת מבט טכנית, המערכת הבינארית היא אידיאלית, אך עבור בני אדם היא מסובכת מדי לשימוש. קשה לנו להבין ש-17 מתאים ל-10001, 46 - 101110, 148 - 10010100. ועוד יותר מכך - אי אפשר לזכור זאת על כל מספר עשרוני קיים. למערכת המספרים הבינאריים יש חסרונות נוספים:
- אותו מספר שנכתב במערכת בינארית ועשרונית יכלול יותר ספרות במקרה הראשון.
- סיום עשרוניות, כאשר הומר לבינארי, קבל סדרת מספרים אינסופית.
בחיי היומיום, איננו זקוקים למערכת בינארית, והצורך בה התעורר יחסית לאחרונה - לאחר המצאת החשמל, ועד אז, הצגת נתונים בצורת אפסים ואחדות הייתה ניסיוני בלבד.
שלבי התפתחות היסטוריים
למרות שמערכת המספרים הבינארית לא הייתה בשימוש פעיל עד לאחר המאה ה-17, יש עדויות לכך שהיא הייתה קיימת אפילו בשחר הציוויליזציות. אז, המתמטיקאי ההודי פינגאלה בשנת 200 לפני הספירה פיתח מערכת שבאמצעותה ניתן להמיר מידע טקסטואלי לקוד בינארי, ולכל אות היה ערך בינארי משלה.
אינקה העתיקה לפני יותר מאלף שנים השתמשו בכתב הקיפו, שבו, בנוסף למספרים עשרוניים, היו קיימים מספרים בינאריים. וב"ספר השינויים" הסיני העתיק, או "אי צ'ינג", המתוארך למאה ה-11, מתוארים 64 הקסגרמות ו-8 טריגרמות, המקבילות למספרים של 6 סיביות ו-3 סיביות, בהתאמה. המערכת הבינארית להצגת מידע בימי הביניים הייתה קיימת גם באפריקה - בגילוי עתידות מסורתי של שבטים רבים, למשל - בגילוי עתידות איפא.
במאה ה-17, המדען הגרמני גוטפריד וילהלם לייבניץ, בעבודתו המדעית Explication de l'Arithmetique Binaire, תיאר את המערכת הבינארית בפירוט, והביא אותה לצורתה הסופית - זו שעדיין קיימת. בלימודיו הסתמך על "ספר השינויים" הסיני של המאה ה-11, שעשה רושם עז על לייבניץ. הוא כינה אותו "הישג סיני גדול במתמטיקה פילוסופית" והאמין שמחברו שאו יונג הקדים את זמנו.
המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' בול נחשב לאבי ההיגיון המתמטי. ענף בלוגיקה מתמטית, אלגברה בוליאנית (אלגברה של לוגיקה), נקרא על שמו. בשנת 1848 פרסם ג'ורג' בול מאמר על עקרונות הלוגיקה המתמטית - "ניתוח מתמטי של לוגיקה, או ניסיון בחשבון של מסקנות דדוקטיביות", ובשנת 1854 הופיעה עבודתו העיקרית - "חקירת חוקי המחשבה, שעליה התיאוריות המתמטיות של לוגיקה והסתברות מבוססות". בו תיאר המתמטיקאי מערכות מספרים אלגבריות ביחס ללוגיקה, והניח את הבסיס לפיתוח של מעגלים לוגיים אלקטרוניים פשוטים, ובהמשך מורכבים יותר ויותר.
במאה ה-20, המחקר על המערכת הבינארית נמשך, ובשנת 1937, המהנדס האמריקני קלוד שאנון שילב אריתמטיקה בינארית ואלגברה בוליאנית, ויישם אותם במקביל לממסרים ומתגים אלקטרוניים. העבודה של כל מכשירי המחשוב האלקטרוניים המודרניים מבוססת, למעשה, על המחקר של שאנון. באותה שנת 1937 נוצר המחשב הדיגיטלי הבינארי דגם K, שבשנת 1940, לאחר סדרה של שדרוגים, כבר יכול היה לחשב מספרים מרוכבים. היוצר שלו, ג'ורג' שטיביץ, נתן לראשונה פקודה למכשיר מחשוב מרחוק: דרך קו טלפון, ובכך פתח אופקים להמשך היצירה והפיתוח של האינטרנט.
לסיכום, אנו יכולים לומר שממערכת לא משמעותית ומתמחה מאוד, המערכת הבינארית הפכה לפופולרית והנפוצה ביותר (במקום השני אחרי העשרוני) תוך 150-200 שנה בלבד. כיום, התפעול של כל מכשירי המחשוב מבוסס על זה, ממחשבוני לחצן ועד עמדות שרתים.