😍 Двоичен калкулатор и конвертор

Калкулатор за преобразуване от двоична в десетична бройна система

Днес двоичната бройна система е втората най-разпространена след десетичната и работата на всички електронни изчислителни устройства се основава на нея. В двоичната система има само две стойности: 0 и 1, което в електронните схеми / платки съответства на липсата и наличието на заряд. Двоичните числа винаги се четат една цифра наведнъж, 1011 не звучи като „хиляда единадесет“, а като „едно, нула, едно, едно“.

Свойства на двоичната бройна система

Има общо 35 бройни системи и ако няколко от тях се използват едновременно в конкретно изчисление/изследване, те се отбелязват с цифрови префикси. Например 101(2) означава, че числото е двоично, докато 6(10) е десетично. Още две опции за означение са амперсандът "&" и "0b". Например, двоичното число 1010(2) може да бъде записано като 0b1010 или като &1010.

Когато работите с числа, принадлежащи към двоичната бройна система, се вземат предвид редица свойства, които включват следното:

Нечетните двоични числа винаги завършват на 1, а четните винаги завършват на 0.
Стойности, които се делят равномерно на 4, завършват с две нули (00).
Двоичните числа, които могат да бъдат разделени на 2(k), завършват с k нули.
Стойностите във формата 2(k) в двоичен код се показват като единица, последвана от k нули.
Стойности като 2(k) − 1 се записват като k единици.

По този начин 16 може да бъде представено като 2^4 или като 10000(2), а 15 като 2^4 − 1 или като 1111(2). Компютърът автоматично възприема двоичния код 1111 като числото 15, а кода 10000 като числото 16. Първият съответства на четири клетки с електрически заряд, а вторият - на пет клетки, първата от които е заредена, а останалите не са. Битове/байтове информация, записана на твърд диск или флаш памет, могат да действат като клетки.

Плюсове и минуси на двоичната система

Значението на двоичната бройна система не може да бъде надценено, тъй като именно тя направи възможно обработването на огромни количества информация за кратко време на електронни изчислителни устройства, работещи с двоичен код. Предимствата на тази система включват:

Висока скорост на обработка на данни. За компютъра е много по-лесно да обработва двоични, отколкото десетични числа.
Опростени математически операции за събиране и умножение. Двоичните таблици заемат много по-малко място от десетичните.
Съвместимост с технически устройства/устройства, които възприемат само две стойности: „включено“ или „изключено“, „заредено“ или „без зареждане“, „налично магнитно поле“ или „без магнитно поле“.

От техническа гледна точка двоичната система е идеална, но за хората е твърде сложна за използване. Трудно ни е да разберем, че 17 съответства на 10001, 46 - 101110, 148 - 10010100. И още повече - невъзможно е да запомним това за всяко съществуващо десетично число. Двоичната бройна система има и други недостатъци:

Едно и също число, записано в двоична и десетична система, ще има повече цифри в първия случай.
Крайните десетични знаци, когато се преобразуват в двоични, получават безкрайна числова серия.

В ежедневието не се нуждаем от двоична система и необходимостта от нея възникна сравнително наскоро - след изобретяването на електричеството, а дотогава показването на данни под формата на нули и единици беше чисто експериментално.

Исторически етапи на развитие

Въпреки че двоичната бройна система не е била използвана активно до след 17 век, има доказателства, че тя е съществувала дори в зората на цивилизациите. И така, индийският математик Пингала през 200 г. пр. н. е. разработи система, чрез която текстовата информация може да бъде преобразувана в двоичен код и всяка буква има своя собствена двоична стойност.

Древните инки преди повече от хиляда години са използвали писмеността quipu, в която освен десетичните числа присъстват и двоични числа. А в древнокитайската „Книга на промените“ или „И Дзин“, датирана от 11 век, са изобразени 64 хексаграми и 8 триграми, съответстващи съответно на 6-битови и 3-битови числа. Двоичната система за показване на информация през Средновековието е съществувала и в Африка - в традиционното гадаене на много племена, например - в гадаенето на Ифа.

През 17-ти век немският учен Готфрид Вилхелм Лайбниц в своя научен труд Explication de l'Arithmétique Binaire описва подробно двоичната система, довеждайки я до нейния окончателен вид - този, който все още съществува. В изследванията си той се опира на китайската „Книга на промените“ от 11 век, която прави силно впечатление на Лайбниц. Той го нарече "голямо китайско постижение във философската математика" и вярва, че неговият автор Шао Йонг е изпреварил времето си.

Английският математик Джордж Бул се смята за баща на математическата логика. На негово име е кръстен клон на математическата логика, Булева алгебра (алгебра на логиката). През 1848 г. Джордж Бул публикува статия за принципите на математическата логика - "Математически анализ на логиката, или опит в смятането на дедуктивните изводи", а през 1854 г. се появява основният му труд - "Изследване на законите на мисълта, върху които се основават математическите теории на логиката и вероятността." В него математикът описва алгебрични числови системи във връзка с логиката и полага основите за разработването на прости, а по-късно и все по-сложни електронни логически схеми.

През 20-ти век изследванията върху двоичната система продължават и през 1937 г. американският инженер Клод Шанън комбинира двоична аритметика и булева алгебра, като ги прилага в тандем към електронни релета и превключватели. Работата на всички съвременни електронни изчислителни устройства всъщност се основава на изследванията на Шанън. През същата 1937 г. е създаден двоичният цифров компютър Model K, който до 1940 г., след поредица от подобрения, вече може да изчислява сложни числа. Неговият създател, Джордж Стибиц, за първи път даде команда на компютърно устройство от разстояние: по телефонна линия, като по този начин отвори хоризонти за по-нататъшното създаване и развитие на Интернет.

Обобщавайки, можем да кажем, че от незначителна и тясно специализирана, двоичната система се превърна в най-популярната и широко разпространена (на второ място след десетичната) само за 150-200 години. Днес работата на всички изчислителни устройства се основава на него, от калкулатори с бутони до сървърни станции.

Калкулатор за преобразуване от десетична в двоична бройна система

Двоичната е втората най-популярна бройна система след десетичната и се състои само от две стойности: 0 и 1. Според общите правила за преобразуване всяко десетично число може да бъде представено като двоично число. Например 3 е 11, а 33 е 100001. Двоичните числа имат свои собствени правила за събиране, изваждане, умножение и деление, които са малко по-различни от операциите с десетични числа.

Двоично събиране и изваждане

Как правилно да събера две двоични/двоични числа? Тази операция се извършва по същия принцип като стандартното десетично събиране. Тоест: две стойности се записват в колона с подравняване на разделител/запетая и се изчисляват от най-дясната цифра до най-лявата - с прехвърляне на "допълнителни" единици отдясно наляво. И така, две единици от категорията "младши" се комбинират в единица от "старши". Като пример, нека добавим двоичните 1100 и 101 бит по бит:

първият отдясно: 0 + 1 = 1;
второ отдясно: 0 + 0 = 0;
трето от дясно: 1 + 1 = 10, единицата се прехвърля към следващата цифра;
четвърти отдясно: 1 + 0 (+1 от предишната цифра) = 10, едно се пренася към следващата цифра;
5-то отдясно: 0 + 0 (+1 от предишната цифра) = 1.

Подреждаме числата в ред отгоре надолу и получаваме 10001. Изваждането се извършва по подобен начин. Ако единица от висок ред е „заета“, от нея се образуват две единици от нисък ред. Например извадете 101 от 1011 с цифри:

първият отдясно: 1 − 1 = 0;
второ отдясно: 1 − 0 = 1;
трето отдясно: 0 − 1 = 1, вземете едно от следващата цифра;
четвърти отдясно: 0 − 0 = 0, връщане на единица от предишната цифра.

Получаваме 110 или при преобразуване в десетичната система - 6. По аналогия можете да извършвате операции за събиране и изваждане с всякакви други двоични числа.

Двоично умножение и деление

Както в случая с десетичните числа, двоичните числа се умножават и разделят в колона с прехвърляне на допълнителни единици от десните цифри в левите. Тъй като умножаването на 1 по 0 води до 0, а умножаването на 1 по 1, стойността остава непроменена, във втория случай тя се прехвърля към следващата цифра под формата на „допълнителна“ единица. Например, можете да умножите 110 по 10 в 4 стъпки:

110 ⋅ 0 = 000;
110 ⋅ 1 = 110;
преместване на 110 с един бит наляво;
добавете стойностите: 000 + 1100 = 1100.

За разделяне на двоични числа ние също използваме стандартната колона от аритметиката, като се има предвид важното условие, че не можете да делите на 0. Например, за да разделите 1100 на 10, където първите две цифри на дивидента са различни от нула, ще:

умножете делителя по 1 и извадете 10 от 11;
добавете 0 вдясно към получената стойност 1 и получете 10 — стойността, равна на делителя;
умножете 10 по 1 и извадете 10;
към получената 0 добавете друга 0 (от дивидента).

Тъй като 0 е по-малко от 10, умножаваме делителя по 0 и получаваме крайния резултат от делението - 110. В графична (не текстова) форма тези изчисления изглеждат по-разбираеми и нагледни, а за малки числа са не създава трудности при изчисленията. Но големите двоични числа, състоящи се от много нули и единици, са твърде трудни и дълги за преброяване в колона.

Освен това такива изчисления не са необходими в ежедневието и в повече от 99% от случаите те се използват в изчислителните / компютърните технологии. Ако имате нужда от бърз и точен резултат от събиране, изваждане, умножение и деление на двоични числа, най-лесният начин е да използвате специален онлайн калкулатор.

Калкулатор за преобразуване от двоична в десетична бройна система

Свойства на двоичната бройна система

Плюсове и минуси на двоичната система

Исторически етапи на развитие

Калкулатор за преобразуване от десетична в двоична бройна система

Двоично събиране и изваждане

Двоично умножение и деление